kaktus77 (kaktus77) wrote,
kaktus77
kaktus77

Парадокс близнецов, часть 1


Решил я разместить здесь этот текст, посвященный разбору «парадокса близнецов» (ПБ ) в специальной теории относительности (СТО).
Во-первых, чтоб было :)
Во-вторых, как-то не встречал я в литературе полного и при этом достаточно элементарного анализа ПБ. Может, конечно, не там смотрел, и всё это где-то изложено. Ну, будет еще один вариант, возможно, кому-то поможет разобраться.
В-третьих, весьма популярен такой миф, что полный анализ ПБ предполагает обращение к общей теории относительности (ОТО). Но это вовсе не так, что и будет показано.
То есть для того, чтобы подробно разобраться с ПБ, недостаточно, конечно, иметь дело только с инерциальными системами отсчета (ИСО), но и требуется рассмотреть, что происходит при ускоренном движении. Только аппарат ОТО здесь вовсе не обязателен (да и исторически кинематика ускоренного движения разрабатывалась в рамках СТО). К тому же рассмотрение прямолинейного равноускоренного движения в СТО не связано, в общем-то, с какими-либо техническими трудностями, зато позволяет быстро получить весьма интересные результаты.

Так, например, выясняется, что скорость, которую достигает тело, двигающееся с постоянным ускорением a в течение времени t, задается простенькой формулой: v = at, точно так же, как и в классической физике. А в чем здесь подвох – выяснится по ходу чтения :)

План изложения будет такой:

1) популярное введение в проблематику, т.е. формулируем – в чем же, собственно, состоит парадокс;
2) краткое рассмотрение ПБ в рамках инерциальных систем отсчета (чем часто и ограничиваются в учебниках по СТО);
3) разбор "на пальцах" вопросов, связанных с ускорением, т.е. полный качественный анализ ПБ по всем фазам движения "близнецов", "качественный" – в том смысле, что опущены некоторые технические моменты.
4) подробные расчеты и вывод всех формул из предыдущего раздела.


1. Замедление времени.

Как известно, СТО базируется на двух основных принципах:

1. Принцип относительности – при переходе из одной ИСО в другую (т.е. при переходе в другую систему отсчета, движущуюся равномерно и прямолинейно по отношению к первой) все законы физики и описания физических явлений преобразуются в законы и описания такого же вида. Или, иначе говоря, наблюдатель, связанный с некоторой системой координат, в принципе не может определить – движется ли он равномерно и прямолинейно или же находится в состоянии покоя.

2. Постоянство скорости света (электромагнитного поля) в вакууме для всех ИСО. Или, иначе говоря, независимость скорости света от источника излучения (точнее, постоянство скорости света вытекает из принципа относительности и независимости скорости света от источника)

Из одновременного выполнения этих двух принципов следует, что переход из одной ИСО в другую описывается преобразованиями Лоренца. И одним из непосредственных следствий этих преобразований является эффект относительного замедления времени:

Δt′ = Δtγ          (1)

где Δt – промежуток времени между двумя событиями на "Земле",
Δt′ – промежуток времени между теми же событиями с точки зрения "ракеты", т.е. в ИСО, движущейся со скоростью v (будем называть ее ИСО ракеты) относительно первой (которую назовем ИСО Земли),
и γ (так называемый гамма-фактор) есть (1 – v2/c2), где c – скорость света.

Для того, чтобы проиллюстрировать этот эффект замедления времени, "сконструируем" специфические часы. Возьмем две зеркальные пластинки, обладающие свойством абсолютного отражения, закрепим их параллельно друг другу и пустим между ними световой луч. Луч этот, попеременно отражаясь от пластинок, и обеспечит нас периодическим процессом, т.е. образует механизм часов.
Посмотрим теперь, как выглядят такие часы, находящиеся в движущейся ИСО ("ракете"), с точки зрения "земного" наблюдателя:



Поскольку часы двигаются вместе с "ракетой", то луч в них (с точки зрения наблюдателя на "Земле") получает наряду с вертикальной еще и горизонтальную составляющую движения. То есть за один "тик" часов он проходит большее расстояние (перемещаясь по гипотенузе треугольника). Но скорость света (согласно второму принципу) всегда равна c, следовательно, на один тик "земных" часов (в которых луч путешествует по вертикальной линии, по катету) придется меньше одного тика часов "ракеты", так как луч, идущий по гипотенузе, просто не успеет завершить это "тик".

Наши световые часы откалиброванны в соответствии со всеми остальными часами, т.е. здесь, на "Земле", они "тикают" синхронно с любыми другими часами, какой бы физический механизм и какие бы законы в них не использовались. Но согласно принципу относительности, в "ракете" точно так же любые часы будут ходить синхронно со световыми, т.е. отставать от "земных" . Что, естественно, и говорит о замедлении времени в "ракете" по отношению к нашему "земному" времени.

Используя этот мысленный эксперимент, несложно получить и численное выражение замедления времени:



Расстояние между пластинами (один из катетов треугольника) равно c, если измерять время в "полу-тиках" неподвижных световых часов - умножив скорость c (метров за "полу-тик") на промежуток времени в один "полу-тик", получим, естественно, ту же величину c, только уже в метрах.
Обозначим через t время (в "полу-тиках" неподвижных часов), за которое луч движущихся часов дойдет до второй пластины. Тогда гипотенуза треугольника будет равна ct, а второй катет, очевидно: vt – путь, пройденный ракетой (и, соответственно, часами ракеты).
И тогда по теореме Пифагора:

c2 = c2t2v2t2
t = 1/(1 – v2/c2)1/2 = 1/γ

Таким образом, когда движущиеся часы совершат один "тик", на неподвижных часах "Земли" будет зафиксировано показание, большее одного тика в 1/γ раз (γ всегда меньше единицы), что и дает нам численное значение замедления времени в "ракете" (в движущейся ИСО) – часы тикают там в 1/γ раз медленее.


Давайте теперь, переместимся в "ракету". Система отсчета, связанная с "ракетой", будет в этом случае неподвижна, "Земля" же будет двигаться со скоростью v. Но это означает, что мы получаем ту же картину (см. сх. 1), только наоборот: "земные" часы будут теперь "тикать" медленее в 1/γ раз, чем часы "ракеты":



Замедление времени – относительно. То есть можно, казалось бы, сказать, что это всего лишь "кажущийся" эффект, теоретические рассуждения, не имеющие отношения к тому, что есть "на самом деле", к реальности.

2. Парадокс близнецов.

Рассмотрим теперь такую ситуацию: ракета стартует с Земли, разгоняется до субсветовой скорости, затем тормозит, разворачивается и возвращается на Землю. С точки зрения системы отсчета Земли, на всех фазах движения ракеты световые часы, находящиеся на ракете, "тикают" медленее земных. Для фазы равномерного движения это очевидно, в случае же разгона и торможения скорость движения часов переменна, но понятно, что луч света все равно проходит большее расстояние при одном "тике", чем в неподвижных часах Земли.

Таким образом, получается, что когда ракета вернется на Землю, то показания часов ракеты будут меньше, чем показания часов на Земле. А поскольку показания часов – это и есть фиксация прошедшего времени (согласно принципу относительности, как мы уже отмечали, показания световых часов эквивалентны показаниям любых других часов, в том числе - "биологических"), то мы получаем реальный факт замедления времени. Если один из близнецов отправится в путешествие на ракете, то при возвращении он окажется моложе своего брата, а если ракета достигнет скорости, близкой к световой, то разница в возрасте будет весьма существенна.

Но при этом получается парадоксальная ситуация. Рассуждая таким образом, как изложено выше, мы пришли к факту реального замедления времени, несимметричности двух систем отсчета – ракеты и Земли. Но до этого, вроде, утверждалось обратное, что обе СО совершенно равноценны и эффект замедления времени относителен.

Понятно, что это противоречивое (на первый взгляд) положение дел возникает из-за того, что ракета двигалась с ускорением, и поэтому мы не можем говорить, что здесь идет речь о двух инерциальных системах отсчета (Земли и ракеты). Но чтобы детальней разобраться в сути дела и прояснить каким именно образом ускорение нарушает симметричность двух СО, необходимо рассмотреть что происходит с часами Земли с точки зрения ракеты. Чем мы дальше и займемся.

3. Предварительное рассмотрение.

Сделаем такое предположение, что ракета мгновенно ускоряется до субсветовой скорости. Конечно, это незаконное предположение, но мы вскоре от него откажемся, а нужно это только для того, чтобы получить предварительное представление от том, как выглядит ситуация из СО ракеты.

Итак, ракета летела со скоростью v (относительно Земли) и вдруг мгновенно "остановилась", развернулась и снова достигла той же скорости по абсолютному значению, но противоположно направленную.
Допустим, что с Земли с постоянной частотой излучается мощный световой луч по направлению к ракете, и через этот луч передается текущее показание часов Земли (на момент посылки сигнала). Таким образом, поскольку разворот был мгновенным, можно считать, что в обоих состояниях (назовем их: Р1 – до поворота, и Р2 – после) ракета получила один и тот же сигнал. Посмотрим теперь как видется ситуация в состоянии Р1:

Мы находимся в СО, связанной с ракетой, и, соответственно, "видим", что Земля удаляется от нас со скоростью v, а световые сигналы летят к нам со скоростью c (естественно). Таким образом Земля и сигнал двигаются в противоположные стороны, в момент же посылки сигнала, который мы сейчас вот получили, Земля была почти в два раза ближе к нам, чем сейчас (считаем, что v очень близка к скорости света). Что и изображено на следующей схеме:



"Пустой" кружочек здесь – положение Земли в момент испускания сигнала. "Серые" кружочки – положения Земли и ракеты в настоящий момент (все это в СО ракеты, конечно). S – расстояние между Землей и ракетой в настоящий момент, t0 – время в СО Земли в момент испускания сигнала, т.е. то показание земных часов, которое мы получили вместе с сигналом.

Несложно теперь посчитать сколько времени прошло в СО ракеты от момента посылки сигнала до его приема (обозначим это время через τ) . Для это достаточно заметить, что расстояние S (между ракетой и Землей) равно сумме пройденных путей за время τ световым сигналом и Землей:

cτ + vτ = S
τ = S/(c + v)

Теперь наша задача – выяснить показания часов на Земле в настоящий момент, с точки зрения ракеты в состоянии Р1. Как мы уже разобрались, часы Земли "тикают" реже, чем часы ракеты, и пока на ракете прошло время τ, на Земле: τγ. Откуда легко получаем текущее показание земных часов:

t = t0 + τγ = t0 + Sγ/(c + v)           (2)


Переходим в состояние Р2. Теперь Земля летит к нам навстречу со скоростью v, т.е. она и световой сигнал движутся в одном направлении. Земля как бы летит вслед за сигналом, только чуть-чуть отставая от него. Но текущее расстояние от ракеты до Земли точно так же равно S. Это следует хотя бы из соображений симметрии – понятно, что если мы будем возвращаться на Землю с той же скоростью, с какой от нее улетали, то потратим то же время и пройдем то же расстояние (точнее, конечно, – это Земля от нас сначала улетала, а теперь возвращается :) ). Или можно рассуждать так: представим, что мы уже встретились с Землей, тогда отношение точки разворота и ракеты (у Земли) будет эквивалентно отношению Земли и ракеты в состоянии Р1, следовательно, и то расстояние, которое прошла Земля до встречи, будет равно S. (Ну и понятно, что можно просто вспомнить, как преобразуются расстояния при переходе в другую ИСО – поскольку абсолютные значения скоростей Р1 и Р2 по отношению к ИСО Земли равны, то и расстояния до Земли в этих СО будут равны)

Таким образом, с точки зрения ракеты в состоянии Р2, Земля находилась весьма далеко в момент испускания сигнала, расстояние до нее было существенно больше S, что и видно из следующей схемы:



Примерно так же, как и для Р1, получаем текущее показание земных часов, только теперь расстояние S равно не сумме, а разности пройденных путей, за время τ, световым сигналом и Землей:

cτ – vτ = S
τ = S/(c – v)

t = t0 + τγ = t0 + Sγ/(c – v)            (3)

Видим, что показания часов весьма разнятся, осталось найти эту разницу, вычитая (2) из (3) :

Δt = Sγ/(c – v) – Sγ/(c + v) = Sγ(c + v – c + v)/(c – v)(c + v) =
= 2Svγ/(c2v2) =2S vγ/c2(1– v2/c2) = 2Sv/γc2

Пусть, например, γ = 0.1 (чем ближе v к скорости света, тем меньше гамма-фактор, и в пределе он стремится к нулю), а S равно одному световому году, тогда Δt будет равно примерно 20 годам. То есть, если в СО Р1 земные часы показывали, скажем, 1 час, то в СО Р2 они уже показывают 20 лет. В процессе разворота близнец, оставшийся на Земле, моментально "постарел" на 20 лет.

Итак, мы видим, что эффект "расхождения часов" возникает при смене инерциальных систем отсчета (причем мы нигде не пользовались собственно преобразованиями Лоренца, а сфокусировались на содержательной стороне дела, т.е. рассматривали все непосредственно из первых принципов – постоянства скорости света и принципа относительности).
Но пора вспомнить, что все это пока не очень убедительно, ибо опиралось на физически некорректное предположение о возможности мгновенного ускорения.

Можно попытаться сказать, что ускорение, конечно, не мгновенно, но мы берем такое отношение между фазой ускорения и фазой равномерного полета, что продолжительность первого существенно (как угодно) меньше чем продолжительность второго, и в этом смысле ускорение можно считать почти мгновенным. Но возникает вопрос – в какой системе отсчета? Почти мгновенное в одной (Земли, скажем) может не быть таким в другой (ракеты). И не рассматривая саму фазу ускорения, "почти мгновенность" обосновать не удастся.

Есть такой ход (который популярен в литературе, посвященной ПБ) – берутся две ракеты, которые летят навстречу друг другу. И в момент встречи производится синхронизация часов, или (что равноценно) с одной ракеты на другую передаются показания часов. Здесь все чисто, и проблем с ускорением удается избежать, но на Землю возвращаются не сами часы (и не брат-близнец), а их показания. То есть мы не имеем здесь реального сравнения двух материальных объектов. Вряд ли сопоставление с каким-то числом может убедить даже самого наивного скептика и "ниспровергателя теории относительности" :)

Так что, пора браться собственно за дело :) и обратиться к рассмотрению фазы ускорения.

Tags: парадокс близнецов, сто, физика
Subscribe

  • Парадокс Белла, часть 4

    6. Почти правильное решение В разделе 4 было показано, что наши ракеты всегда неподвижны относительно друг друга, т.е. всегда существует…

  • Парадокс Белла, часть 3

    4. Ну, очень простое опровержение классического решения. В прошлый раз у нас возникли некоторые сомнения в том, что релятивистские эффекты могут…

  • Парадокс Белла, часть 2

    2. Задача Белла Формулировка задачи Белла из его статьи «Как преподавать специальную теорию относительности» 2: «Три маленьких космических…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 101 comments

  • Парадокс Белла, часть 4

    6. Почти правильное решение В разделе 4 было показано, что наши ракеты всегда неподвижны относительно друг друга, т.е. всегда существует…

  • Парадокс Белла, часть 3

    4. Ну, очень простое опровержение классического решения. В прошлый раз у нас возникли некоторые сомнения в том, что релятивистские эффекты могут…

  • Парадокс Белла, часть 2

    2. Задача Белла Формулировка задачи Белла из его статьи «Как преподавать специальную теорию относительности» 2: «Три маленьких космических…