kaktus77 (kaktus77) wrote,
kaktus77
kaktus77

Парадокс Белла, часть 1

 
«... те, у кого более классическое образование, кто знает кое-что из рассуждений Лармора, Лоренца и Пуанкаре, а также Эйнштейна, обладают более сильным и надежным инстинктом.»
Джон Стюарт Белл

 
 
 
0. Предисловие

Неожиданно вернулся к теме парадоксов в теории относительности. На рассмотрении теперь - после парадокса близнецов – задача Белла. Совершенно случайно наткнулся на эту тему, то есть я слышал, конечно, когда-то о задаче про две ракеты, но тогда она показалась мне достаточно простой и не заслуживающей особого интереса. А вот давеча посмотрел, как она расписана в Википедии, и сильно удивился – как можно делать такие элементарные (как мне тогда показалось) ошибки. Но это было только начало, со всё больше нарастающим удивлением обнаружил, что и у Белла та же самая фигня, и во многих современных статьях, и вообще всё это безобразие уже давно стало общим местом и вызывает недоуменно-критическую реакцию только у таких неукротимых бойцов, как vsounder (В.Б.Морозов с форума ФИАНа).

Впрочем, выяснилось, что у Белла и его последователей есть свои резоны, то есть не так всё просто (ошибка не так уж элементарна :) ). Но всё же меня поразило, что, с одной стороны, я нигде не мог найти правильного решения задачи Белла (ну, может, не так глубоко копал), а с другой стороны - насколько широко распространились и стали, по существу, общим местом не просто ложные представления, а такие представления, которые уж совсем не совместимы с элементарным здравым смыслом.

Впрочем, вера в могущество человеческого разума была в последний момент спасена, и правильное решение нашлось! Причем многие его даже знают (или должны знать), но почему-то игнорируют (даже ссылаясь) .Не буду пока говорить где и кто, дабы сохранить интригу :). Опять же, может, кто и сам найдет, тем более, что намёк более чем прозрачен.
Я полагаю, что вся эта история с задачей Белла (которая еще явно не закончилась) есть хрестоматийный пример борьбы интуиции (инстинкта), сформированной прежними, классическими представлениями, со здравым смыслом, казалось бы, всем присущим. Но старорежимная интуиция побеждает пока с разгромным счетом, вот и приходится заступаться за здравый смысл :)

Итак, вашему вниманию будет представлено:

  -   подробное описание задачи Белла
  -   изложение классического (ошибочного) решения
  -   простенькое опровержение классического (ошибочного) решения
  -   демонстрация парадоксальности простенького опровержения классического (ошибочного) решения
  -   демонстрация парадоксальности другого (менее ошибочного) решения
  -   и наконец, непременное разоблачение всех фокусов.

Отдельная благодарность bertran_r и a_gorb за участие в предварительном обсуждении темы и идей этой публикации.

И да, могу сразу сказать - верёвка не порвётся!

1. Введение

Если парадокс близнецов есть холивар на тему замедления времени, которое не захотело быть только кажущимся и заявило свои претензии на реальность, то парадокс Белла – холивар на тему сокращения размеров, которое тоже пытается повысить свой статус до реального и динамического (но с меньшим успехом). Так что повествование наше никак не может обойтись без рассказа о том, что есть такое лоренцево (или по другом источникам – фицджеральдово) сокращение длин и расстояний.

Большая часть дальнейшего текста будет сводится, по существу, к рассмотрению разных случаев применения преобразований Лоренца (ПЛ) , поэтому не помешает уделить немного внимания тому матаппарату, который будет здесь использоваться. Проще всего ПЛ выражаются в гиперболическом представлении. Да и технически всё сильно упрощается, если пользоваться гиперболическими функциями. Отсылаем к примечанию 1 всех, кто захочет освежить в памяти их свойства.

Ну, а теперь выведем из ПЛ эффект сокращения длин (расстояний), а заодно потренируемся слегка в гиперболической технике. Собственно, весь остальной текст будут повторяться всё те же телодвижения, только с небольшими вариациями, так что следите за руками внимательно. Здесь и везде далее используется так называемая “естественная” система единиц, где скорость света равна 1 и, соответственно, расстояние выражается через единицы времени (световой год и всё такое).


Стержень длиной L проносится с постоянной скоростью v = th(θ) относительно лабораторной системы отсчета (ЛИСО). Координаты концов стержня в его собственной СО выберем наиболее простым образом: x-координата левого конца будет равна 0, и правого, соответственно: L . Посмотрим теперь, во что переходят собственные координаты концов стержня при переходе в ЛИСО через ПЛ в некоторый момент времени τ по часам СО стержня:

х'1 = х1•ch(θ) + τ•sh(θ) = τ•sh(θ) (1a)
х'2 = х2•ch(θ) + τ•sh(θ) = L•ch(θ) + τ•sh(θ) (1b)
  
t'1 = х1•sh(θ) + τ•ch(θ) = τ•ch(θ) (1c)
t'2 = х2•sh(θ) + τ•ch(θ) = L•sh(θ) + τ•сh(θ) (1d)

Мы видим, что t'1 < t'2, так как два события, одновременные в одной инерциальной СО, не будут такими в другой.

Так, если вдоль стержня расставить (синхронизированные) часы, то очевидно, что на обоих его концах они всегда будут показывать одно и то же время – в собственной СО стержня, разумеется, где часы неподвижны. Но когда мы «смотрим» на пролетающий стержень из ЛИСО, то эти часы будут показывать разное время (см. схему 1).

сх1

Понятно, что в момент измерения длины пролетающего стержня в ЛИСО все часы ЛИСО должны показывать одно и то же время (именно так, как на схеме 1), но мы получили в (1) совсем не то - t'1 не равно t'2. То есть мы получили пока не совсем те х-координаты, которые нам нужны, – для того чтобы трактовать их разницу как длину стержня в ЛИСО, они должны соответствовать одному и тому же значению t (показанию часов в ЛИСО). А значит:

L' = х'2 - х'1 - Δx, (2)

где L' – длина стержня в ЛИСО, а Δx – то расстояние, которое пройдет первый конец стержня за время Δt = t2 - t1 (или, можно сказать и по другому – это то “лишнее” расстояние, которое прошел второй конец за время t2 - t1). Этот момент иллюстрирует схема 2, где точки А и B – это положения концов стержня в разные моменты времени (в ЛИСО). Для того чтобы этот “спроектированный” в ЛИСО стержень совпал с реальным, точка А должна переместиться в А', затратив время Δt:

сх2

Δx = v(t'2 - t'1) = th(θ)(L•sh(θ) + τ•сh(θ) - τ•ch(θ)) = L•th(θ)sh(θ) = L•sh2(θ)/ch(θ) (3)

И получаем:

L' = L•ch(θ) + τ•sh(θ) - τ•sh(θ) - L•sh2(θ)/ch(θ) = L•ch2 (θ)/ch(θ) - L•sh2(θ)/ch(θ) = L/ch(θ) = L√(1 - v2) (4)

Здесь используется то, что ch2(θ) - sh2(θ) = 1

Итак, мы получили, что с точки зрения ЛИСО длина стержня сокращается в гамма раз (Г = 1/√(1 - v2)). Понятно, что это лоренцево сокращение длин никак не влияет на сам стержень, его длина в той СО, относительно которой он неподвижен, ни на йоту не меняется, и никакие силы на стержень не действуют - ни снаружи, ни изнутри. В этом смысле лоренцево сокращение длины вполне можно назвать кажущимся.
Но замедление времени тоже поначалу трактовалось как кажущееся, пока не оказалось, что оно становится вполне реальным для ускоряющихся тел. И в этом отношении очень интересна задача Белла, рассматривающая, по существу, ситуацию ускорения такого стержня.
Неожиданно оказалось, что в условиях ускорения вот это кажущееся сокращение тоже становится реальным (как обычно говорят – “динамическим”) и производит реальные силы, действующие внутри стержня. Ну, это они так говорят – Белл и его армия. Вот мы и посмотрим, насколько это соответствует действительности.

Продолжение следует.




1 Краткая справка по применению гиперболических функций.

Прежде всего введем такое понятие, как параметр скорости –  θ:

v = th(θ)

где v – скорость, а th(θ) – гиперболический тангенс от θ.
Параметр скорости очень удобен тем, что это аддитивная величина, т.е. параметры скорости можно складывать точно так же, как скорости в классической физике. Это становится совершенно очевидным, если взглянуть на формулу разложения гиперболического тангенса суммы двух параметров:

th(θ1 + θ2) = [th(θ1) + th(θ2)]/[1 + th(θ1) th(θ2)]

которая полностью совпадает с формулой сложения скоростей в СТО.

Для движения с собственным ускорением a параметр скорости очень просто выражается через собственное время: θ =

Тангенс, ясно дело, есть отношение (гиперболических) синуса и косинуса: th(θ) = sh(θ)/ch(θ)
Важные для нас свойства гиперболических функций:

ch2(θ) – sh2(θ) = 1
sh(θ1 + θ2) = sh(θ1)ch(θ2) + ch(θ1)sh(θ2)          
ch(θ1 + θ2) = ch(θ1)ch(θ2) + sh(θ1)sh(θ2)
sh(– θ) = – sh(θ)
ch(– θ) = ch(θ)
при θ → 0 :
ch(θ) → 1
sh(θ) → θ, th(θ) → θ

Ну и про то, как связаны гиперболическое представление и классическое (в "обычной" системе единиц):

v = c•th(θ)
ch(θ) = Г
sh(θ) = (v/c)•Г
где гамма-фактор Г = 1/√(1 - v2/c2)

Уравнения Лоренца приобретают в гиперболическом представлении такой вот симпатичный и симметричный вид (c=1):

t = τ•ch(θ) – x•sh(θ)
x = x•ch(θ) – τ•sh(θ)



Tags: парадокс Белла, сто, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 28 comments