kaktus77 (kaktus77) wrote,
kaktus77
kaktus77

Парадокс Белла, часть 2

 
2. Задача Белла

Формулировка задачи Белла из его статьи «Как преподавать специальную теорию относительности»2:

«Три маленьких космических ракеты, А, В, и С, дрейфуют свободно в области пространства, удаленной от остального вещества, без вращения и без относительного движения, причем В и С равноудалены от А (рис. 1).
По получении сигнала от А запускаются двигатели В и С, и ракеты начинают плавно ускоряться (рис. 2). Пусть ракеты В и С идентичны и имеют идентичные программы ускорения. Тогда (как считает наблюдатель на А) они будут в каждый момент времени иметь одинаковую скорость и, таким образом, оставаться смещенными друг относительно друга на фиксированное расстояние.

bell1

Предположим, что с самого начала В и С связаны тонкой нитью (рис. 3). И если вначале нить достаточно длинна, чтобы ее хватило на требуемое расстояние, то по мере того как ракеты ускоряются, она станет короче, поскольку подвергается фицджеральдовому сокращению, и в конце концов порвется. Она должна порваться, когда при достаточно большой скорости искусственное предотвращение естественного сжатия приведет к недопустимому натяжению.
Действительно ли это так? Эта старая задача оказалась однажды предметом обсуждения в столовой ЦЕРН'а. Один уважаемый физик-экспериментатор отказался согласиться с тем, что нить порвется, и счел мою уверенность в обратном моим собственным непониманием специальной теории относительности. Мы решили обратиться в Теоретический отдел ЦЕРН'а за арбитражем, и произвели (не очень систематический) опрос общественного мнения на этот счет. Образовался отчетливый консенсус в пользу того, что нить не порвется! Конечно, многие, кто поначалу дает этот неправильный ответ, приходят после некоторого размышления к правильному. Обычно они чувствуют необходимость посмотреть, как все это представляется наблюдателю В или С. Они обнаруживают, что В, например, видит С все дальше и дальше позади, так что данный кусок нити не может больше покрыть расстояние между ними. Только проделав это, и возможно с остаточным ощущением какой-то неловкости, эти люди в конце концов приходят к заключению, которое совершенно тривиально с точки зрения А, учитывая фицджеральдово сокращение. Мое впечатление, что те, у кого более классическое образование, кто знает кое-что из рассуждений Лармора, Лоренца и Пуанкаре, а также Эйнштейна, обладают более сильным и надежным инстинктом.»2

Белл здесь не слишком строг в формулировках (возможно, специально :) ), вследствие чего условие задачи можно понимать по разному. Самое тонкое место я выделил - что имеется в виду, когда говорится «имеют идентичные программы ускорения»? Если даже ограничиться (как все, собственно, и делают) случаем движения с постоянным ускорением, то остаётся вопрос: по отношению к какой системе отсчета это ускорение постоянно?

Можно постулировать (принять как условие задачи), что ускорение ракет постоянно относительно «неподвижной» системы отсчета (назовём её ЛИСО, лабораторная СО), т.е. той СО, в которой неподвижен наблюдатель А. Но этот вариант достаточно тривиален и ни к каким парадоксам не приводит3. Можно только отметить, что нить в этом случае действительно порвётся :)

Обычно же это условие понимается так, что постоянны и равны собственные ускорения ракет, т.е. ускорения относительно ИСО, мгновенно сопутствующей ракете (судя по всему и сам Белл имел в виду именно это4). Например:

«Релятивистское ковариантное уравнение движения каждой из них происходит под действием постоянной силы f, создающей (в системе покоя ракеты) постоянное ускорение “a” …»5

3. Классическое решение

Впрочем, с точки зрения Белла и его последователей, это различение в трактовке условий не имеет большого значения, поскольку для них очевидно, что если собственные ускорения ракет постоянны и равны, то будут равны (хотя и не постоянны) и ускорения ракет в ЛИСО (равны друг другу в любой момент времени по часам ЛИСО). Это, согласно их рассуждению, следует из того, что смещение точки старта корабля вдоль линии их будущего движения (назовем её осью Х) никак не может повлиять на уравнение движения корабля. Параметрические уравнения движения для ракеты (как точечного тела), двигающегося с постоянным собственным ускорением всем хорошо известны:

x(τ) = (1/a)(ch() - 1) (5a)
t(τ) = (1/a)sh() (5b)

где х – координата ракеты по оси X в ЛИСО (пройденный путь): t – время по показаниям часов ЛИСО, за которое ракета пролетела расстояние х; a - собственное ускорение ракеты, τ - собственное время, т.е. время по часам ракеты, ch() и sh() – гиперболические косинус и синус, соответственно.

сх3

Если нарисовать ось Х горизонтально, как на схеме 3, то будем считать (для определенности) левую ракету первой, а правую - второй. Задав координаты старта первой ракеты как (0,0) , мы тем самым отнесли к ней и уравнения движения (5) . Но ничто не мешает нам задать координаты по другому – пусть через (0,0) будет обозначено событие старта второй ракеты, тогда очевидно, что в этом случае уравнения движения (5) можно и нужно отнести ко второй ракете. Понятно так же, что часы обеих систем отсчета - ЛИСО1 и ЛИСО2 (в первом случае центр СО – событие старта первой ракеты, во втором – второй) - будут показывать одинаковое время (в любой точке): t1 = t2. То есть это, по существу, одни и те же часы. Если выразить всё это через лаконичный язык формул, то получаем:

xi(τ) = x0i + f(τ) (6)

где через f(τ) обозначено уравнение движения (5а), а x0i - это начальное положение (при t=0) i-той ракеты. Для ЛИСО1 очевидно будет:

x1(τ) = f(τ) (7a)
x2(τ) = f(τ) + L (7b)

L – расстояние между ракетами в момент старта. Если мы теперь возьмем разность этих двух уравнений (7b и 7a), то получим, что расстояние между ракетами не зависит от времени и всегда равно L. Из этих уравнений очевидно так же, что если ракеты перестанут ускоряться в некий момент Τ по своим корабельным часам, то эти события будут одновременны в ЛИСО.

Казалось бы, это очень простое (можно сказать - элементарное) и интуитивно очевидное рассуждение. Но, тем не менее, именно здесь и содержится та ключевая ошибка, которая зачёркивает решение Белла и обессмысливает дальнейшие тексты - его, Логунова и многих других авторов, потоптавшихся вокруг этой темы.. Читателям предоставляется возможность самим найти эту ошибку (пока не выложено продолжение :) ), а мы пока рассмотрим некоторые следствия приведенного рассуждения (вряд ли его можно назвать “решением”, раз оно ошибочно :) )


Итак, рассмотрим ситуацию, которая сложится после того, как обе ракеты выключат двигатели в момент Τ по своим корабельным часам, тогда координаты ракет в ЛИСО1 будут равны:

   -  для первой ракеты:   x1 = f() = (1/a)(ch() - 1),     t1 = t = (1/a)sh(); (8a)
   -  для второй ракеты:   x2 = f() + L= (1/a)(ch() - 1) + L,     t2 = t = (1/a)sh(). (8b)

Обе ракеты (с точки зрения ЛИСО1) двигаются теперь с постоянной скоростью v = th() . Найдем х-координаты ракет в СО, относительно которой ракеты неподвижны:

х'1 = x1•ch() - t1•sh() = f()ch() - t•sh() (9a)
х'2 = x2•ch() - t2•sh() = (f() + L) ch() - t•sh() (9b)

И следовательно, расстояние между ракетами в их СО будет:

L' = х'2 - х'1 = L•ch() (10)

Понятно, что события, одновременные в ЛИСО1, не будут такими в СО ракет и τ1τ2, но ракеты в этой СО неподвижны, откуда следует, что расстояние между ракетами уже не зависит от показания их часов (после выключения двигателей).

Итак, оказывается, что два тела, двигающиеся с одним и тем же собственным ускорением, начинают убегать друг от друга. Ну, вот если вы, на своем BMW, будете держать такое же ускорение, как у идущего впереди Мерса, то он от вас уедет. А вот чтобы не отстать, надо давить на акселератор чуть сильнее, чем водила несущейся впереди машины. Заметьте, это всё при вполне обычных ускорениях и скоростях, можно даже сказать – бесконечно малых скоростях, поскольку с точки зрения сопутствующей инерциальной СО скорость ваша на текущем “шаге” ускорения действительно бесконечно мала, как и скорость партнера. Ведь трудно ожидать, что на расстояние между ракетами действует какой-то там наблюдатель, пусть даже ваша скорость по отношению к нему близка к скорости света :)

Полный когнитивный диссонанс и попрание всяческого здравого смысла – при малых, бесконечно малых скоростях наблюдаются релятивистские эффекты, да ещё и такие необыкновенные! Но, как не удивительно, народ как-то смирился с этим насилием над психикой и уверенно декларирует невозможность абсолютно твердых тел - в том смысле, что любое тело развалится на части (во всяком случае будет сильно к этому стремиться) при достаточно длительном движении с ускорением.

Продолжение следует.


2 Bell, J. S. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987. стр 67.
Перевод из Герштейн С. С., Логунов А. А. «Задача Дж. С.Белла» (препринт ИФВЭ 1996), стр. 1

3 В литературе часто упоминается, что еще до Белла эта задача с двумя ракетами была рассмотрена Э. Деваном и М. Бераном в 1959 году (Dewan, E.; Beran, M. (March 20 1959). «Note on stress effects due to relativistic contraction». American Journal of Physics (American Association of Physics Teachers) 27 (7): 517-518). Но у них-то как раз программы ускорения ракет были идентичны относительно лабораторной (“неподвижной”) СО. То есть расстояние между ракетами было неизменно именно по определению.

4 Поэтому, в частности, ему приходится отвечать на такой неприятный вопрос: почему нить испытывает лоренцово сокращение и рвется (из-за этого сокращения), а ракеты – нет, продолжают лететь на одном и том же расстоянии друга от друга? Понятно, что если бы неизменность этого расстояния входила в условие и поддерживалась принудительно, то такой вопрос не мог бы появиться в принципе. Забавно он и отвечает – типа, нить сжимается электромагнитным взаимодействием между молекулами, а ракеты тут ни при чем, «гранаты другой системы». Очень смело. Видимо, отсюда и пошли гулять увлекательные динамические трактовки “сил” Лоренца, выведение кинематических законов из электромагнитного взаимодействия и всё такое. Сказав «А», приходится говорить «Б».

5 Герштейн С. С., Логунов А. А. «Задача Дж. С.Белла» (препринт ИФВЭ 1996), стр. 3

Tags: парадокс Белла, сто, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 51 comments