kaktus77 (kaktus77) wrote,
kaktus77
kaktus77

Парадокс Белла, часть 3

 
4. Ну, очень простое опровержение классического решения.

В прошлый раз у нас возникли некоторые сомнения в том, что релятивистские эффекты могут наблюдаться для бесконечно малых скоростей. Докажем теперь невозможность таких эффектов - для ракет из задачи Белла - непосредственно через преобразования Лоренца (ПЛ).

Рассмотрим один “шаг” ускорения наших двух ракет. В момент времени τ по часам первой ракеты с ней можно связать некоторую мгновенно-сопутствующую инерциальную систему отсчета (МИСО1). Смысл этого типичного приёма состоит в том, что в течение бесконечно малого промежутка времени от τ до τ + dτ неинерциальная система отсчета ракеты полностью идентична инерциальной мгновенно сопутствующей СО, а следовательно, мы можем свободно пользоваться преобразованиями Лоренца в пределах этого бесконечно малого промежутка времени. Текущее время в МИСО1, естественно, совпадает со временем ракеты - τ.

Предположим, что в момент времени τ, вторая ракета была неподвижна относительно МИСО1 и расстояние между ракетами в МИСО1 было равно L.

В течение бесконечно малого промежутка времени от τ до τ + dτ ракеты движутся относительно МИСО1 со скоростью v = adτ и проходят путь dx = ad2τ.
Соответственно, новые координаты ракет в МИСО1: (ad2τ, τ + dτ) и (L + ad2τ, τ + dτ)

“Шаг” ускорения можно рассматривать через переход от МИСО1 к МИСО2, связанной с первой ракетой в “следующий” момент времени τ + dτ .

сх4

На схеме 4 красные ракеты иллюстрируют точку зрения МИСО1, внизу указаны координаты ракет в момент времени τ + dτ (по часам МИСО1), когда они имели скорость v = adτ. Рассчитанные через ПЛ координаты в МИСО2 относятся к голубым ракетам, которые находятся в покое относительно этой СО и пользуются часами, синхронизированными в МИСО2. Приведём расчет перехода к x-координатам МИСО2:

х'1 = ad2τ•ch(adτ) - (τ + dτ)sh(adτ) = ad2τ - (τ + dτ)adτ = - aτdτ (11a)
х'2 = (L + ad2τ)ch(adτ) + (τ + dτ)sh(adτ) = L - aτdτ (11b)

где использовались следующие свойства гиперболических функций: ch(θ) → 1   и   sh(θ) → θ   при θ → 0

И теперь легко получить расстояние между ракетами в МИСО2:

L' = х'2 - х'1 = L (12)

Как видите, расстояние не изменилось. Мы не использовали ПЛ для преобразования временных координат, поскольку очевидно, что если в МИСО1 две ракеты одновременно имеют одинаковую скорость, то в МИСО2 они обе будут неподвижны, так что показания часов “на голубых ракетах” (в МИСО2) на определение расстояния никак не влияют.

Несложно заметить, что этот расчет совершенно аналогичен тому, что мы делали в прошлом разделе, см. формулы (8) – (10), так что мы могли и вовсе ничего не считать, а просто использовать (10) - L' = L•ch(adτ) = L    (ибо ch(adτ) → 1).

В момент старта две ракеты неподвижны относительно друг друга, на каждом “шаге” ускорения, как мы только что показали, расстояние между ракетами не меняется, и они остаются неподвижными относительно друг друга, если были таковыми на “начало шага”. Следовательно, – по индукции - расстояние между ракетами не меняется, и они всегда неподвижны относительно друг друга. А это, в свою очередь, означает, что с точки зрения ЛИСО (СО старта) ракеты будут сближаться друг с другом по ходу ускоренного движения.

Можно отметить так же, что если собственные часы первой ракеты показывают τ, то с её точки зрения (или, что то же самое, с точки зрения МИСО1) показания часов второй ракеты тоже будут равны τ. Это следует из того, что ракеты неподвижны друг относительно друга, т.е. имеют одну и ту же скорость относительно СО старта, а скорость эта однозначно связана с собственным временем ракеты: v = th(aτ). Таким образом ракеты выключат двигатели одновременно в СО, связанной с ракетами (например, в МИСО1) и, соответственно, не одновременно в ЛИСО.
Всё это, безусловно, полностью опровергает решение Белла..

Впрочем, если кто-то продолжает верить в сокращение длин для бесконечно малых скоростей и к тому же не доверяет индукции, то он может самостоятельно посчитать, что будет происходить в момент времени после старта, 2, 3 и т.д. Мы с интересом будет ждать результата – на каком же шаге всё-таки начнут разлетаться ракеты? :)

5. Парадокс четверых близнецов

Хотя и опровержение классического решения Белла выглядит до неприличия элементарным, но не всё так просто на самом деле. И это радует, а то было бы уж совсем грустно. Для того чтобы проиллюстрировать те проблемы, которые здесь возникают, немного видоизменим оригинальную постановку задачи и придадим ей дополнительный драматизм:

Мы по прежнему имеем дело с двумя ракетами, но, во-первых, они разогнались уже в незапамятные времена и, во-вторых, находятся на очень далёком расстоянии друг от друга. Координаты такого события как пролёт первой ракеты мимо Земли (со субсветовой скоростью v) равны (0,0) – как в СО Земли (Л), так и в СО ракет (Р). То есть таким вот образом мы синхронизировали эти две СО. В некий момент времени τG по своим часам первая ракета почти долетела до далёкой планеты GoNg. Причем планета эта так далека, что время, необходимое для торможения и посадку мы считаем пренебрежимо малым по сравнению с τG. Иначе говоря, торможение будем считать почти мгновенным, так что то соотношение между показаниями часов ракеты и часов планеты, которое сложилось перед началом торможения - tG = τG•ch(θ), - практически не изменится.

Так вот, в тот момент (в СО Р) , когда первая ракета достигла планеты GoNg, вторая как раз долетела до Земли, как это и зафиксировано на схеме 5, где вся ситуация показана из СО ракет - они неподвижны, а планеты мчаться со субсветовой скоростью v справа налево (на рисунке).

сх5

Но здесь надо обратить ваше внимание еще на одно знаменательное событие. В тот момент (τ = 0), когда первая ракета разлеталась с Землей, случилось чудо - массовое рождение близнецов, аж 4-х штук, двое на ракетах (по одному на каждой), один родился на Земле и последний - на планете GoNg. Как это стало возможным технически, мы разбираться не станем, нас интересует физика, а не физиология. Существенным фактом для нас является только то, что все они родились в некотором смысле одновременно - одновременными тройками, если быть точным. С точки зрения СО Земли - в момент времени t = 0 родились дети Земли, Гонга и ракеты 1, а с точки зрения СО ракет - в момент времени τ = 0 родились дети двух ракет и Земли.

И вот ракетные близнецы решили наконец-то познакомиться со своими сухопутными братьями и строго одновременно врубили тормоза, чтобы сесть на те планеты, к которым они подлетели. Торможение, как вы помните, почти мгновенное, но вот вопрос – куда именно попадут братья-близнецы, и в какое время?

1) Поскольку расстояние между ракетами не меняется и часы на них тикают синхронно, как мы выяснили в предыдущем разделе, то они прибудут в СО Земли в районе планеты GoNg, и оба ракетных близнеца (по прежнему не отличающиеся друг от друга) окажутся существенно младше (в гамма раз) планетных. Но как же тогда быть с мгновенностью торможения второй ракеты - хорошо мгновенье, за которое на Земле прошло почти τGГ лет (т.е. почти столько же, сколько первая ракета летела от Земли до Гонга по часам Земли)

2) И постойте, – почему же им не попасть в район Земли, ведь вторая ракета тормозит именно около Земли, значит, она там и должна оказаться в результате (почти) мгновенного торможения. Первая же не может улететь далеко от второй - расстояние между ними после “приземления” должно составить vτG, а расстояние между планетами больше в гамма раз. И в этом случае уже наоборот – планетные близнецы окажутся моложе. Это, конечно, подозрительно, но пока непонятно, чем же вторая ракета "хуже" первой, почему она должна подстраиваться под первую, а не наоборот?

3) Есть, впрочем, и третий вариант, который будут защищать самые верные белловцы (несмотря ни на что) – одна ракета тогда быстренько сядет на Гонг, а другая - на Землю. При этом близнец второй ракеты (той, что села на Землю) окажется в конечном итоге самым стареньким – в гамма раз старше планетных близнецов, которые, в свою очередь, в гамма раз старше брательника с первой ракеты. Как всех жизнь разбросала-то, пожалуй, близнецу со второй ракеты так и не дожить до окончания мгновенного торможения первой.

Более того, близнец-старейшина имеет все шансы отбросить коньки еще до того, как его бывший одногодка только задумается о будущем торможении, которое он должен проделать одновременно с покойничком, да (бывшим или будущим? - не поймёшь). Ведь в момент времени t = τG/Г, когда старейшина мгновенно приземлился, другая ракета только недавно еще отошла от Земли и ей предстоял (или предстоит?) еще долгий путь до Гонга. Интересно было бы узнать, как трактует этот прямо-таки лемовский казус партия Белла.

Ну, и вообще, пора уж забыть про межзвездные перелеты – сначала при разгоне всё растягивается в гамма раз, а потом и при торможении – снова растягивается в гамма раз. Никакой звездолет такого обращения не выдержит.

Каждый из вариантов, как мы видим, сталкивается с проблемами и выглядит парадоксальным, а значит, надо разбираться дальше.

Продолжение следует

Tags: парадокс Белла, сто, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 17 comments