kaktus77 (kaktus77) wrote,
kaktus77
kaktus77

Парадокс Белла, часть 4

 
6. Почти правильное решение

В разделе 4 было показано, что наши ракеты всегда неподвижны относительно друг друга, т.е. всегда существует некоторая общая для них инерциальная СО. Более того, мгновенно сопутствующая первой ракете ИСО всегда является такой и для второй. Координаты второй ракеты в этой МИСО1 равны (L,τ), где L - расстояние между ракетами (постоянное), τ – текущее время МИСО1, а значит, и собственное время ракет. Равенство собственных времен ракет в рамках МИСО1 было так же доказано в том разделе.

Рассмотрим “шаг” ускорения второй ракеты.
В момент времени τ она связана с МИСО1 и имеет координаты (L,τ), а через бесконечно малый промежуток времени её координаты (уже в МИСО2, двигающейся со скоростью th(aτ + adτ) относительно ЛИСО) равны (L, τ + dτ ). Что мы и изобразили на схеме 6, где красная ракета неподвижна относительно МИСО1, а голубая – относительно МИСО2:

сх6

Рассмотрим теперь этот “шаг” ускорения через ЛИСО, для чего воспользуемся преобразованиями Лоренца, t1 - это показания часов в ЛИСО, соответствующее “красному” состоянию ( МИСО1), а t2 - “голубому”:

t1 = τ•ch() + L•sh() (13a)
t2 = (τ + )ch( + adτ) + L•sh(( + adτ) (13b)

Теперь не трудно посчитать (используя разные полезные свойства гиперболических функций) промежуток времени dt в ЛИСО, соответствующий промежутку по собственным часам ракеты (сравните с аналогичным расчетом равноускоренного движения у Уиллера6, например),:

dt = t2 - t1 = [τ•ch( + adτ) - τ•ch()] + •ch()ch(adτ) + •sh()sh(adτ) + L•ch()sh(adτ) + L•sh()ch(adτ) - L•sh()

После упрощений и вычеркивания вторых степеней по получаем:

dt = [τ•ch( + adτ) - τ•ch()] + •ch() + aLdτ•ch()

Разберёмся теперь с тем выражением, что в квадратных скобках. Взгляните на схему 7. Здесь собственное время голубой ракеты не τ + dτ, как на предыдущей схеме, а τ. Обратите внимание, это другая голубая ракета, не белловская, а специальная - запущенная исключительно для того, чтобы разобраться с этим выражением в квадратных скобках. Но это тоже голубая ракета - она неподвижна в МИСО2. Таким образом две ракеты из разных ИСО, с одинаковым показанием собственных часов τ встречаются в точке х=0.

сх7

Но если мы теперь перейдем к координатам этого события в ЛИСО (нижняя часть схемы), то для разных ракет получим разные показания часов. То бишь, ЛИСО1, в которую мы перешли из МИСО1, и ЛИСО2, в которую мы перешли из МИСО2, не совсем эквивалентны – часы этих двух ЛИСО сдвинуты по отношению друг к другу. Вот в квадратных скобках из (14) и содержится этот сдвиг часов, т.е. этот член не имеет физического смысла и должен быть вычеркнут:

dt = (1 + aL)•ch() (14)

Вот мы и получили временную часть уравнения движения в дифференциальной форме. Легко увидеть, что при L=0 уравнение (14) сводится к известной формуле для точечного тела. Если проинтегрировать по dτ, получим и интегральную форму:

t(τ,L) = (1/a)(1 + aL)sh() (15b)

которая обобщает (5b) для произвольной точки с х-координатой L ускоренного протяженного тела.
Аналогично получаем и уравнение для х(τ,L), которое обобщает (5a):

х(τ,L) = (1/a) (1 + aL)(ch() – 1) + L (15а)

Но тем самым мы получили, на первый взгляд, нечто странное. Согласно (15b) мы видим, что вторая (правая) ракета будет ускоряться дольше, чем первая: ( 1 + aL)sh(aT) > sh(aT), но, как мы говорили об этом в разделе 3, ничто не мешает нам перенести начало координат в точку старта второй ракеты, и тогда совершенно очевидно, что по лабораторным часам ракета перестанет ускорятся в момент времени (1/a)sh(). То есть два разных способа расчета дают разные значения времени (которое, в принципе, вполне проверяемо экспериментально). А следовательно, по крайней мере одно из этих рассуждений неверно, хотя оба они, вроде бы, и не содержат ошибок!

Впрочем, нашелся человек, который поставил и решил эту проблему еще в далеком 1907-ом году, Это был, конечно, Эйнштейн. Дальше мы будем в основном следовать его анализу из статьи «О принципе относительности и его следствиях»7

7. Разборки со временем.

Эйнштейн делает следующий ход (в своём стиле) – он расщепляет бывшее единым понятие времени на два разных. С одной стороны, вводится понятие местного времени – σ. Это тот набор часов, который мы расставили и синхронизировали по оси х, в момент времени t = 0, и который отправился в ускоренное движение, оставаясь всегда синхронными относительно СО старта (ЛИСО). Другими словами говоря, это те часы, которые Белл и a_gorb свободно переносят из одной точки оси Х в другую, и задают через них уравнения движения (6)-(8).

Но эти часы, будучи одновременными относительно ЛИСО, никак не могут быть одновременными относительно СО, связанной с ускоряющимся телом (ракетами), - Σ, и относительно мгновенной СО, сопутствующей этой неинерциальной СО тела (ракет). А вот тот набор часов, который синхронен относительно текущей МИСО, будет задавать другое время - время системы отсчета Σ, которое обозначаем через τ. Различие и связь этих двух систем часов, задающих как бы разные типы времени, показана на схеме 8, где изображен первый “шаг” ускорения. Первый (нижний) ряд красных ракет обозначает состояние в момент времени t = 0 и здесь, соответственно, σ = 0 и τ = 0. Второй ряд, c голубыми ракетами, – это ракеты в момент времени dt - неподвижные в МИСО1, двигающейся вправо со скоростью adτ. Первый “шаг” ускорения. Показания их часов изображены с точки зрения ЛИСО (в соответствии с преобразованиями Лоренца). Понятно так же, что dt здесь равно , в виду бесконечно малой относительной скорости, так что dt везде заменено на , поскольку нас интересует соотношение именно между тау и сигма. А сверху мы изобразили «красные проекции» ракет с часами σ. Т.е. это те же ракеты, но теперь мы смотрим на другие часы σ, одновременные относительно ЛИСО.

сх8

Как мы видим, правые (собственные) часы τ отстают от часов σ - тикают медленнее с точки зрения ЛИСО. В то время как левые сигма и тау вполне совпадают друг с другом. Иначе говоря, отношение σ-времени к τ-времени есть функция от L, и чем правее по оси Х τ-часы, тем медленнее они ходят относительно σ-часов. Несложно посчитать и насколько именно – показание голубых правых часов мы получили через ПЛ: τ2 = dt•ch(adτ) - L•sh() = - aLdτ (здесь dt = ). А теперь можем заметить, что стрелка правых голубых часов должна пройти еще aLdτ, для того чтобы “догнать” σ-часы, откуда и получаем после интегрирования :

σ(L) = (1 + aL (16)

Теперь легко понять физический смысл часов сигма и тау. Местное время σ используется для локального описания физических явлений, ведь в точке (в начале координат) оно полностью совпадает со временем собственным (τ). Мы можем поместить начало координат в любую точку Х, и уравнение движения будет, само собой разумеется, совершенно идентичным в любой точке Х (скажем, уравнение (5) ).

Но всё это проходит до тех пор, пока нам не надо рассматривать одновременно происходящее в разных точках по оси Х. В этом случае σ-время уже не годится, поскольку здесь требуется система часов, одновременных именно в Σ. И здесь надо переходить от “красных” часов к “голубым”, для того чтобы учесть замедление собственного времени, зависящее от х-координаты ускоряющегося объекта. Заметьте, это не лоренцово сокращение, которое зависит только от скорости и не зависит от координат, а специфическое замедление, связанное с ускорением.

Кстати, Эйнштейн именно через такой анализ времени в условиях равноускоренного движения вышел на вопросы теории гравитации (общей теории относительности). Если в формуле (16) заменить aL на Ф – гравитационный потенциал, то получаем уравнение замедления времени в зависимости от значения гравитационного потенциала: σ(L) = (1 + Ф)τ, которое совершенно аналогично замедлению времени для удаленного ускоряющегося тела (чем дальше по направлению движения тело в СО ускоряющейся системы, тем выше “гравитационный потенциал”) .

Разобравшись с часами, теперь легко понять источник зафиксированного в конце предыдущего раздела противоречия. Когда мы переносим центр координат в точку старта второй ракеты и записываем для неё уравнение t(σ) = (1/a)sh(), то мы используем местное σ-время (показание σ-часов). Но при сопоставлении движения первой и второй ракеты использовать местное время уже нельзя и требуется либо уравнение движения первой ракеты перевести в тау-время (которое бежит в этом случае быстрее, чем местное), либо вернуть точку (0,0) на место старта правой ракеты, и тогда уже уравнение движения второй ракеты должно быть записано через собственное время (15).

Покажем теперь как перейти от тау-времени к местному, т.е. от (15) к (5). Возьмем, к примеру, уравнение (15b) и заменим τ на σ:

(1/a)(1 + aL)sh() = ((1 + aL)/a)sh((a/(1 + aL))σ) (17)

Вспомним, что достигнутая ракетой скорость v = th(). Понятно, что какое бы мы время не использовали, скорость, которую наберет ракета (скажем, при завершении ускорения) от этого не меняется, откуда легко получить значение собственного ускорения ракеты в σ-времени: a' = a/(1 + aL), и переписываем (17) с её родным для местного времени ускорением:

t(σ) = (1/a')sh(a'σ)

Получили (5b) с точностью до обозначений. Тем самым мы показали, что (5) и (15) описывают одно и то же движение, только в разных метриках, отличающихся устройством времени (для х-координаты выкладки совершенно аналогичны). Для сопоставления же ракет и, в частности, определения расстояния между ними, надо брать, конечно, тау-время, т.е. уравнения (15). Тогда мы получаем, что вторая ракета прекратит ускорятся позже первой и расстояние между ними постоянно сокращается (первая ракета будет пошустрее :) ) и в конце концов составит L/Г, как и положено для объектов, уважающих лоренцово сокращение расстояний. Впрочем, желающие могут выбрать и формулы (5) с переносом центра координат и использованием местного сигма-времени. Только не надо забывать, что при таком переносе вдоль оси Х изменяется “собственное” ускорение и время разгона!

8. Немножко графики

Проиллюстрируем вышесказанное на графиках пространства Минковского. Вместо ракет будем использовать стержень (для наглядности).

Для начала рассмотрим равномерное движение стержня, без ускорения:

сх9_1

Уравнение движения левого конца описывается в ЛИСО уравнением X = vT, а правого - X = vT + x/Г. С точки зрения ИСО стержня правый (первый) конец стержня - это черная точка с координатами (0, τ), а левая - с координатами (x, τ). Сам стержень нарисован более толстым черным отрезком.
Мы решили использовать сдвинутую вдоль оси X систему отсчета ЛИСО2 для описания движения второго конца стрежня – лиловые линии. И "перенесенный" конец , двигающийся по уравнению движения X = vT (относительно ЛИСО2) попал "внезапно" в совсем другое место - в красную точку с координатами (x, τ') ИСО стержня, где τ' < τ.
То есть для того, чтобы конец второго стержня правильно описывался в лиловой СО через координаты (0, σ) – мы заменили τ на σ, поскольку перешли на самом деле на местное сигма-время, – нам надо еще выразить σ через τ

Теперь вам должно быть понятнее (как мне представляется), почему на схеме 10 траектория правого конца ускоряющегося стержня (второй ракеты) не просто сдвинута вправо по оси Х, но еще и расширена (масштабирована) с уже известным вам коэффициентом (1+ aL). И на графике хорошо видно, что при переходе на СО с местным временем (красные линии) ось времени масштабируется на этот же коэффициент.
сх10





6 Э.Тейлор, Дж.Уиллер, "Физика пространства-времени", М.: Мир, 1971 стр. 131-132

7 А.Эйнштейн «Собрание научных трудов. Том. 1», М.: Наука, 1965, стр. 106-109 (# 18)
Tags: парадокс Белла, сто, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 139 comments